采样与混叠：fs 要多快才够？
对余弦信号 cos(2πf₀t) 以 fs 采样（竖线点）。采样让频谱以 fs 周期延拓——若 f₀ > fs/2，镜像分量落回带内，重建出的（橙色）信号频率是混叠频率，但完美穿过每一个采样点。
判据：fs > 2f₀（奈奎斯特）才无混叠。试着把 f₀ 拖过 fs/2 那条线——重建信号突变到低频，但采样点纹丝不动。这正是「欠采样后无法分辨 5kHz 和 3kHz」的原因。频谱图里灰线是各阶镜像 k·fs±f₀，红线是落入带内的混叠分量。
傅里叶级数：用正弦堆出一堵方波
方波 = (4/π)·Σ sin(nωt)/n（n 取奇数）。拖动滑块增加谐波数 N，观察边缘的振荡（吉布斯现象）如何收窄但永不过冲消失。
判读：基波幅度 4/π≈1.273；跳变高度为 2，吉布斯过冲恒为跳变的 ≈8.95%（N→∞ 时收敛到跳变线两侧但不消失）。频谱只含奇次谐波，幅度 ∝ 1/n。
卷积：翻转、平移、乘、累加
输入 f(t) 固定为宽 2 的单位矩形脉冲；选择系统冲激响应 h(t) 并调节其特征宽度 T。拖动「当前时刻」滑块，中间图显示 f(τ)·h(t−τ) 的阴影面积——那个面积就是 y(t) 在 t 时刻的值。
判读：矩形⊛矩形 = 梯形（上升沿宽 = T，平台 = 2−T，形状由「重叠面积」而来）；矩形⊛指数 = 电容充电曲线。卷积交换律：f⊛h = h⊛f。
一阶 RC 滤波器：同一个电路，两种看法
fc = 1/(2πRC)。频域看：fc 处恰好 −3dB、之后每十倍频 −20dB；时域看：阶跃在 t=τ 处爬到 63.2%。拖动 fc 观察两个视图如何联动——τ = 1/(2πfc)。
低通：|H| = 1/√(1+(f/fc)²)，相移 −45° @ fc；高通：|H| = (f/fc)/√(1+(f/fc)²)。阶跃响应：低通 1−e^(−t/τ)（63.2% @ τ），高通 e^(−t/τ) 从 1 跌向 0——同一个 τ，两个世界。
AM 调幅：频谱搬移
s(t) = [1 + m·cos(2πfmt)]·cos(2πfct)。时域：载波被包络 1±m·cos 骑着；频域：一根载波线 + 两根边带线——频率被「搬移」到了 fc 两侧。
判读：边带幅度 = m/2，带宽 = 2fm；m>1 为过调制——包络反转，包络检波失真。载波本身不携带信息：m=1 时仍有 2/3 的功率浪费在载波上（这正是后来单边带/抑制载波调制的动机）。